ESL конденсатора и взаимная индуктивность.

В предыдущих статьях мы уже касались вопроса характера импеданса конденсатора на разных частотах, а так же как параллельные конденсаторы взаимодействуют друг с другом.

Одной из ключевых точек импеданса — его минимальное значение. Точка находится на частоте собственного резонанса(f_resonance на графике), это та частота, где конденсатор ведёт себя наиболее эффективно (если рассматривать фильтрующие свойства low pass фильтра).

Значение импеданса в точке собственного резонанса равняется такому параметру как ESR.

Если с ESR всё понятно, то с ESL не всё так просто… Во-первых, ESL влияет на частоту собственного резонанса:

Во-вторых, а как узнать, чему равно ESL нашего конденсатора? Как раз в этом то вопросе и кроется очень много подводных камней. Но если их отбросить, то для подавляющего числа задач можно не задумываясь взять цифры из datasheet, SPICE или вычислить по графику импеданса, взяв точку где конденсатор ведёт себя как индуктивность (1GHz для графика выше).

Рассмотрим подробнее подводные камни… В статье будут затронуты следующие темы:
1) Взаимная индуктивность.
2) Влияние взаимной индуктивности на ESL конденсатора.
3) Выгодное расположение конденсаторов при построение фильтров.
4) Выбор стека для эффективной работы развязывающих конденсаторов.

Взаимная индуктивность.

Обычно разработчик привык воспринимать индуктивность как некую константу которая написана в datasheet на конденсатор или константа которая выдана из какого нибудь САПР. Конечно этот подход имеет место быть, но очень часто мы не задумываемся, а почему индуктивность дорожки именно такая и от чего она зависит. Очень часто можно услышать, что индуктивность зависит только от конструкции самой индуктивности (ну или элемента схемы/платы). Если копнуть ещё глубже, то индуктивность зависит чисто от магнитного потока (Ф) и тока в контуре (I).

В свою очередь магнитный поток Ф — это произведение вектора магнитной индукции B на площадь S, которую пронизывают линии магнитной индукции. Тут стоит обратить внимание на тот факт, что В это векторная величина. А для вектора направление имеет существенное значение. Продолжая оперировать понятиям поля, можно увеличить или уменьшить поток в катушке за счёт тока, который протекает в другом контуре (или другом участке цепи).

Для расчёта полной индуктивности контура схемы выше обычно просто суммируют индуктивность L1 и L2.

Но если нам важно получить результат очень точно, тогда нужно учитывать магнитный поток создаваемый в L1 индуктивностью L2. И наоборот, поток в L2, создаваемый L1. В таком случае полная индуктивность записывается так:

Теперь поговорим о знаках, почему знак «-«, а не «+»? Всё очень просто, вспоминаем правило Буравчика, так как токи в индуктивностях текут в разных направлениях, то вектор магнитной индукции будет направлен в разные стороны (по часовой и против часовой). Отсюда и знак минус! По тому же принципу может быть знак плюс. Токи должны протекать в одном направлении, в таком случае взаимная индуктивность будет со знаком +.

Ещё стоит уточнить такой момент: а что если вместо R1 поставить тоже индуктивность, будет ли учитывать эффект взаимной индуктивности для неё? Нет, не будет!

Не забываем, что магнитная индукция B векторная величина, и в сколярном произведении векторов присутствует косинус между двумя векторами.

Всё выражение будет равно нулю поскольку cos(90) = 0.

Влияние взаимной индуктивности на ESL конденсатора.

После того как разобрались с тем, что такое взаимная индуктивность нужно разобраться, а как она влияет на компоненты в схемах.

Немного уйдя в сторону, посмотрим на ESL с другой стороны. Необходимо понимать то значение, которое пишут в спецификации производители, это тот минимум, который они смогли измерить на СВОЕЙ печатной плате!

Смотрим на формулу индуктивности и вспоминаем, что магнитный поток это произведение B на S. Если площадь контура сделать слишком маленькой, то и индуктивность(ESL) получится небольшой.

Очевидно, что производитель конденсаторов во время тестирования ESL не будет использовать печатную плату с core = 1.5mm (для справки, core базовый слой печатной платы). Скорее всего используется такая печатная плата, чтобы расстояние между слоем Power и GND было минимальным. Тогда становится очевидным что:

Скорее всего на печатной плате реального устройства стек слоёв будет отличаться от тестового образца для измерения ESL. При применении более толстого prepreg (или core), мы увеличиваем площадь S, а вместе с этим и реальный ESL (далее под ESL будет пониматься совокупная индуктивность конденсатора с печатной платой).

Можем ли мы влиять на ESL? Конечно же можем, можно выбирать грамотно стек так, чтобы площадь S уменьшалась. Так же площадь можно уменьшить путём замены конденсатора на меньший типоразмер. Для оценки зависимости ESL от типа корпуса можно воспользоваться таблицей ниже. Источник.

Но на этом не заканчиваются методы с помощью которых можно уменьшить ESL. Ведь ESL — это обычная индуктивность, следовательно на неё так же действует свойство взаимной индуктивности!

Тут надо понимать, что взаимную индуктивность возможно ввести как дополнительный параметр только при конструкции из нескольких элементов. Например два конденсатора.

Предположим мы конструируем фильтр в котором имеется линия передач с распределёнными параметрами и 2 конденсатора.

При этом трассировка данной схемы будет практически такая же как и нарисовано на схеме.

Для моделирования воспользуемся схемой на рисунке ниже:

Для понимания опишу компоненты которые тут используются:

1. С1+L1, C2+L2 непосредственно конденсаторы с ESL.
2. Trem — согласующие резисторы для расчёта S — параметров.
3. MLIN — модель для микрополосковой линии, в которой задаётся ширина и длина.
4. MSUB — параметры опорного слоя для MLIN. Толщина, диэлектрические свойства и т.д.
5. MUTIND — блок, где задаётся коэффициент связи между указанными индуктивностями.

Значения для MLIN были рассчитаны под сопротивление ~50Ohm.

Теперь построим АЧХ (S21 param.) с разным коэффициентом для взаимной индуктивности.

На графике видно как смещается частота собственного резонанса фильтра. При сильной связи между ESL С1 и С2 частота может уйти в область низких частот на 200MHz относительно идеальной схемы. Идеальную схему будем считать при mutual = 0.

От чего зависит величина коэффициента? Пожалуй это самый сложный вопрос, по скольку величина зависит не только от близости конденсаторов друг к другу (чем ближе, тем больше взаимная индуктивность), но и от геометрии проводников/корпуса конденсатора/via/стека pcb.

Для оценки можно воспользоваться формулой из статей «An Efficient Approach for Power Delivery Network Design With Closed-Form Expressions for Parasitic Interconnect Inductances«. Формула приводится для расчёта взаимной индуктивности для via, но если учесть, что via вносит существенный вклад в общую индуктивность, то можно применять для грубой оценки.

Тут hs — это длина via до опорного слоя, s — расстояния между via.

Для наглядности построим график M(s) при hs = 0.15мм.

Из графика видно, что взаимная индуктивность резко начинает вырастать, когда расстояние уменьшается до 20mm.

Далее, зная значение взаимной индуктивности, можно найти коэффициент k, который использовался и менялся во время моделирования.

Выгодное расположение конденсаторов при построении фильтров.

В схеме с двумя конденсаторами при моделировании мы использовали положительный коэффициент магнитной связи k. Другим словами, мы увеличивали суммарную индуктивность прибавляя M.

Как говорилось выше, взаимная индуктивность может быть и с отрицательным знаком! Для этого необходимо чтобы вектора магнитной индукции были направлены в противоположные стороны. Это возможно когда токи на участках платы протекают в противоположном направлении.

Для того чтобы токи протекали в разных направлениях, конденсаторы можно расположить так:

Из рисунка видно, что токи протекают в противоположном направлении, как следствие поле созданное током I1 уменьшает поле созданное I2 и наоборот.

В такой конфигурации платы, коэффициент взаимной индукции будет со знаком минус. И АЧХ будет выглядеть следующим образом:

Выбор стека для эффективной работы развязывающих конденсаторов.

При построении фильтров не мало важным является стек печатной платы. Касаемо стека есть много разных аспектов, но я хочу затронуть один, который наиболее близок к данной тематике. Ещё раз обратите внимание на уравнение для расчёта взаимной индуктивности:

Что мы тут можем регулировать на уровне стека ПП? Естественно высоту до опорного слоя hs. Ну и можно сказать, при грамотной трассировке фильтра, можно сделать так, чтобы взаимная индуктивность вычиталась, следовательно нам выгодно её сделать побольше. Для этого ставим конденсаторы поближе и делаем плату потолще (точнее сказать prepreg/core между внешним слоем и опорным). Если построим зависимость M(hs) при s=const. Получается чем толще плата, тем лучше!

Но бесплатный сыр только в мышеловке! Не забываем, что увеличивая высоту до опорного слоя, мы увеличиваем площадь S, и как следствие паразитную индуктивность.

Если мы говорим, что бОльшую часть паразитной индуктивности вносит via (особенно при больших d), то можно записать уравнение для нахождения этого значения. Выглядит оно почти так же как для M.

r — радиус переходного отверстия.

Теперь построим индуктивность via на фоне роста взаимной индуктивности.

Наглядно видно, что L растёт в несколько раз быстрее чем M! Поэтому, выбирая стек печатной платы, не стоит ориентироваться на взаимную индуктивность. Напротив, расстояние до опорного слоя лучше сделать как можно меньше.